Rozgrzej piekarnik do 180°C.
Wymieszaj wszystkie składniki ciasteczek tymiankowych do uformowania ciasta (staraj się zrobić to szybko). Włóż do lodówki na 30 minut.
Pokrój ziemniaki, marchew i seler na małe kawałki, ugotuj je w osolonej wodzie do miękkości. Odcedź i odstaw.
Pokrój cukinię i brokuł na mniejsze kawałki, odstaw.
W międzyczasie przygotuj sos. Rozgrzej olej na dużej patelni, dodaj drobno pokrojoną cebulę i smaż na wolnym ogniu, aż cebula się zeszkli i będzie miękka. Dodaj trzy łyżki mąki i dobrze wymieszaj. Ciagle mieszając wlej bulion i mleko, mieszaj aż do połączenia składników (ważne by nie było grudek). Dodaj cukinię, brokuł, tymianek, sól i pieprz. Gotuj na małym ogniu przez kilka minut do miękkości warzyw. Sos powinien delikatnie zgęstnieć.
W dużym żaroodpornym naczyniu wymieszaj przygotowany sos z resztą ugotowanych wcześniej warzyw i ugotowanym kurczakiem. Odstaw.
Przygotuj ciasteczka. Wyjmij ciasto z lodówki, na posypaną mąką powierzchnię i delikatnie rozwałkuj. Wytnij okrągłe ciasteczka, przełóż na blachę wyłożoną papierem do pieczenia i podpiecz w piekarniku przez 10 minut.
Przełóż podpieczone ciasteczka na górę zapiekanki, posmaruj je roztrzepanym jajkiem i piecz całość przez kolejne 10-15 minut. Podawaj gorące. Smacznego!